# 1 Introduction

近些年大家从更广义的角度理解了对称性的由来，并且推广了对称性本身的概念。现在对称性被理解为一系列拓扑算符，并且一个QFT的对称性可以被一个Symmetry TFT来表达（SymTFT）。一个d维QFT的SymTFT是一个(d+1)的TFT，在一侧有拓扑边界，一侧是物理边界。2112.02092提出，对于Geometric Engineering构造的QFT，其对应SymTFT可以构造出来。只需对原来engineer的$X$空间考虑其边界$\partial X$并进行合适构造。这个构造并非传统的KK reduction，而是用到differential cohomology的一种构造。对于AdS/CFT的场论，SymTFT也可以被理解为bulk SUGRA的topological coupling。

这篇文章对Sasaki-Einstein 7 manifold对应的SymTFT进行了详细研究，其中分为有膜和没膜两种情况（均指M2膜）。即M theory在$C(SE_7)$构造的QFT所对应的SymTFT（无M2膜），和M theory在$AdS_4\times SE_7$上对应的probing $C(SE_7)$的M2膜理论对应的SymTFT。对于具体例子主要是后者，包括ABJ(M)理论和其他一般的$SE_7$对应的理论。

# 2 基本概念

第二章主要是回顾了SymTFT的基本概念。SymTFT是一个d+1维度的TFT，主要捕捉了choice of global structure of the gauge group和higher-form and higher-group symmetries的’t Hooft anomaly，SymTFT并不负责重现原来理论的动力学，而主要编码的都是全局信息。一般的抽象构造是Sandwich构造
$$
\mathcal{A}|gapped\ interface\ as\ B_{top}|S_{SymTFT}|B_{phy}
$$
左侧的是所谓anomaly theory。每个理论的良好定义都依赖一个高一维度的anomaly theory，使其作用量变分抵消原理论anomaly。anomaly theory和SymTFT通过一个不传播动力学（因为SymTFT通常不可逆，但anomaly theory是可逆的）只保留拓扑信息的边界相连。如果我们把SymTFT做对应物理边界的约化，即在$M_d\times I$（$I$长度为$L$）定义
$$
Z_{bdry} = \langle B_{top} | e^{-LH_{SymTFT}} |B_{Phy}\rangle
$$
作为一个$B_{phy}$的函数（由于SymTFT为拓扑的，这个结果不依赖$L$的具体选取），则所得三维有效理论为原理论。


# 3 M理论直接构造SymTFT

## Classical Cohomology

第三章回顾了M理论直接构造SymTFT的基本方法。首先只考虑11 D SUGRA的（一圈修正的）拓扑部分
$$
\frac{S_{11d}}{2\pi} = \int_{M_{11}}\left[-\frac{1}{6}C_3\wedge G_4\wedge G_4-C_3\wedge X_8\right]
$$
其中($X_8 := \frac{1}{192}(p_1(TM_{11})\wedge p_1(TM_{11})-4p_2(TM_{11}))$用Pontryagin类构造)。如何构造SymTFT的作用量？首先定义了辅助的$I_5$
$$
I_5 = \int_{Y_7}-\frac{1}{6}G_4\wedge G_4\wedge G_4 - G_4\wedge X_8
$$
可以进一步定义$dI_4 = I_5$，而作用量
$$
S_{4d\ SymTFT} = 2\pi \int_{M_4}I_4
$$
我们如何具体写出来这个作用量？主要是通过对$G_4$在$H^p(Y_7,\mathbb{R})$上的展开
$$
G_4 = \sum_{p=0}^4\sum_{i=0}^{b^p(Y_7)}g_{4-p}^i\wedge\omega_p^i
$$
其中$g_q^i$局部可以写作
$$
g_0^i = \mathcal{N}^i,\quad g_q^i=dc_{q-1}^i,q=1,2,3\quad g_4 = dc_3+\mathcal{L}\mathrm{vol}_{M_4}
$$
同时定义
$$
K_{abc}^{ijk}:=\int_{Y_7}\omega_a^i\wedge\omega_b^j\wedge\omega_c^k
$$
（在原文中$K^{ijk}_{133}:=K^{ijk}$,   $K^{ijk}_{223}:=\mathcal{K}^{ijk}$,   $K^{ij}_{43}:=\mathfrak{K}^{ij}$,   $K^{ijk}_{421}:=\mathbb{K}^{ijk}$ ，但我觉得这种行为莫名其妙）。因此可以得到$I_4$的表达式（假设$Y_7$是连通的，因此$c_3$只有一个生成元而无指标）
$$
I_4 = \sum_{ijk} \left(\frac{1}{2}K^{ijk}_{133}dc_2^i\wedge c_0^i\wedge dc_0^k + \frac{1}{2}K^{ijk}_{223}dc_1^i\wedge c_1^j\wedge dc_0^k+K^{ijk}_{421}\mathcal{N}^ic_1^j\wedge d c_2^k\right)-\sum_{ij}K^{ij}_{43}\mathcal{N}^i dc_0^j\wedge c_3 - \sum_i C^i c_0^i p_1(TM_4)
$$
哦对了，其中$C^i = \frac{1}{96}\int_{Y_7}\omega_3^i\wedge p_1(TY_7)$。里面真正重要的是两个BF term
$$
\sum_{ijk} K^{ijk}_{421}\mathcal{N}^ic_1^j\wedge d c_2^k - \sum_{ij}K^{ij}_{43}\mathcal{N}^i dc_0^j\wedge c_3
$$
为什么SymTFT中的BF term是很有用的呢？因为此时运动方程（以第一项为例）是
$$
dc_1 = dc_2 = 0
$$
同时作用量是$c_1\wedge dc_2$，因此可以选择$(c_1^i,c_2^i)$中其中一个为Dirichlet，一个为Neumann的边界条件。

## Differential Cohomology

2112.02092中发现，利用differential cohomology的方法，$H^p(Y_7,\mathbb{Z})$中的torsion可以给出SymTFT中更多的coupling。第三章也回顾了differential cohomology及其应用。differential cohomology是升级版的$H^p(M,\mathbb{Z})$，在此基础上整合进去带有holonomy的规范场，以下记作$\breve{H}^p(M)$ 。为什么要升级？众所周知整数系数同调群是可以有torsion的
$$
n[t] = 0, H^p(M,\mathbb{Z}) = \cdots\oplus Z_n
$$
但是如果在de Rham上同调里面就看不见这些torsion，而differential cohomology不仅保留了de Rham上同调，还可以同时捕捉到空间的torsion。


对一个$\breve{a}\in\breve{H}^p(M)$，可以理解为对(p-1)维的close cycle给出holonomy的对象
$$
\breve{a}:Z_{p-1}\to \mathbb{R}/\mathbb{Z},\quad \mathrm{Hol}_{\breve{a}}(\Sigma_{p-1})\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}
$$
同时存在一个p维的close cycle$F_{\breve{a}}$满足，对任意$C_p$有
$$
\mathrm{Hol}_{\breve{a}}(\partial C_p) = \int_{C_p}F_{\breve{a}} \quad\mathrm{mod}\mathbb{Z}
$$
对一个differential cohomology class，有两种不同的投影，其一是投影到$H^p(M,\mathbb{Z})$的$I(\breve{a})$，其二是投影到整数周期p维close form $\Omega^p_{\mathbb{Z}}(M)$ 的$R(\breve{a})$，并且满足（对$\star:\breve{H}^p(M)\times \breve{H}^q(M)\to \breve{H}^{p+q}(M)$ 为bilinear product ）
$$
\breve{a}\star \breve{a} = (-1)^{pq}\breve{b}\star \breve{a}\quad I(\breve{a}\star \breve{b})=I(\breve{a}) \smile I(\breve{a})\quad R(\breve{a}\star \breve{a}) = R(\breve{a})\wedge R(\breve{b})
$$
有两种进行differential cohomology类积分的方法，其一称为primary invariant，对$\breve{a}\in \breve{H}^n(M_n)$
$$
\int_{M_n}\breve a = \int_{M_n}R(\breve a) = \int_{M_n}I(\breve a) \in\mathbb Z
$$
第二类称为secondary invariant，对$\breve{a}\in \breve{H}^{n+1}(M_n)$，
$$
\int_{M_n}\breve{a}\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}
$$
这个积分本质上是holonomy，我觉得一个简单的例子是
$$
\int_{S^1} \breve{F} = \oint_{S^1}A\quad \mathrm{mod}\mathbb{Z}
$$
对于torsion元素$t\in H^p(M,\mathbb{Z})$，一个性质是对其differential lift $\breve{t}$
$$
I(\breve{t}) = t\ne 0\quad R(\breve{t})=0
$$


具体到M theory，M theory的topological action写成secondary invariant的形式
$$
\frac{S}{2\pi} = \int_{M_{11}}\breve{I}_{12} \mathrm{mod} 1\quad \breve{I}_{12} = -\frac{1}{12}\breve{G}_4\star\breve{G}_4\star\breve{G}_4-\breve{G}_4\star\breve{X}_8
$$
其中$\breve{G}_4\in\breve{H}^4(M_{11})$,$\breve{X}_4\in\breve{H}^8(M_{11})$。在假设$M_4\times Y_7 = M_{11}$的背景下，若$M_4$连通无torsion，$Y_7$闭合、连通、可定向且$\mathrm{Tor}H^1(Y_7,\mathbb{Z})$，并且将$H^p(Y_7,\mathbb{Z})$的自由生成元和torsion生成元分别记为$v_p^i,t_p^{\alpha}$，则
$$
G_4 = \sum_{p=0}^4\sum_i F_{4-p}^i\smile v_p^i + \sum_{p=2}^4\sum_\alpha B_{4-p}^\alpha\smile t_p^\alpha
$$
特别地，$F_0^i = N^i\in \mathbb{Z}$和$B_0^{\alpha} = b^{\alpha}\in \mathbb{Z}$分别是自由和torsion 4 cycle上的通量。我们可以利用$I$进行differential cohomology的uplift
$$
\breve G_4 = \sum_{p=0}^4\sum_i \breve F_{4-p}^i\star\breve v_p^i + \sum_{p=0}^4\sum_\alpha \breve B_{4-p}^\alpha\star\breve t_p^\alpha
$$
将此代入M theory的topological action之后，就可以得到$F^3$,$F^2B$,$FB^2$,$B^3$项。这些项的系数常由如下系数表达
$$
\Lambda_{nm}^{abc}=\int_{Y_7}\breve{u}_n^a\star \breve{u}_{8-n-m}^b \star \breve{u}_m^c
$$
其中$a,b,c$可以取$\alpha,\beta,\gamma$这些torsion指标或者$i,j,k$这些自由指标，取不同指标时$u$对应$t$或者$v$。

对于$AdS_4/CFT_3$中，我们可以假设有如下简化
$$
H^1(Y_7;\mathbb Z)=0, \qquad H^3(Y_7;\mathbb Z)=0
$$
并且不打开自由4 cycle的背景场通量$N^i$，此时拓扑作用量为
$$
 \frac{S_{\mathrm{top}}}{2\pi} =  -\sum_{ij\alpha} \frac{\Lambda_{24}^{ij\alpha}}2 b^\alpha \int_{M_4} \breve F_2^i\star\breve F_2^j  -\sum_{i\alpha\beta} \Lambda_{22}^{i\alpha\beta} b^\alpha \int_{M_4} \breve F_2^i\star\breve B_2^\beta -\sum_{\alpha\beta} \frac{\Lambda_{04}^{\alpha\beta}}2 b^\alpha b^\beta \int_{M_4}\breve F_4  -\sum_{\alpha\beta\gamma} \frac{\Lambda_{24}^{\alpha\beta\gamma}}2 b^\gamma \int_{M_4} \breve B_2^\alpha\star\breve B_2^\beta
$$



# 4 系数计算

简要概括一下系数计算的细节。

SymTFT中的系数有两类，其中第一类就是7 form在$Y_7$上直接积分，这种可以直接写成$Y_7$上的普通相交数。而secondary invariant则无法直接表达，作者选取$\tilde{X}_8 = resolved\ C(Y_7)$ 
通过les
$$
\cdots\to H_p(\tilde{X}_8,\mathbb{Z}) \to H_p(\tilde{X}_8,Y_7,\mathbb{Z})\to H_{p-1}(Y_7,\mathbb{Z})\to H_{p-1}(\tilde{X}_8,\mathbb{Z})\to \cdots
$$
可以将$Y_7$ 上的 cohomology 类（先一样通过Poincare duality映射到$Y_7$的cycle）映射到$\tilde{X}_8$中的relative cycle（这一步是对$p=8-n$，因此$H_{7-n}(Y_7,\mathbb{Z}) = H^n(Y_7)$ ，再假设$H_{7-n}(\tilde{X}_8,\mathbb{Z})=0$，就可以用relative 8-n cycle表示）。其中$v_n^i$对应non compact的cycle $D_i^{8-n}$，$t_n^{\alpha}$对应compact cycle$Z_{\alpha}^{8-n}$。这些Secondary invariant可以写成这些的相交数。

我们一般进行具体的计算都是在toric variety这种相对可操作性更强的模型上，因此接下来需要将toric divisor和differential cohomology generator连接，然后再用toric divisor计算相交数。不过这块疑似比较技术性，因此我没有特别好的理解。

我大概的理解是这样的：首先选取所有的compact和non compact的toric divisor，这些divisor自然对应6 cycle。对于$v_2$对应的$D_i^6$是比较简单的，只需要任选$b_2(Y_7)$个线性独立的non compact divisor就可以。对于$t_2$对应的$Z^6_{\alpha}$，首先计算所有的紧曲线（通过3个divisor相交），然后计算紧曲线和$C_a$ intersection matrix的Smith normal form，其中变换矩阵$B^\alpha_i$就对应了组合系数
$$
Z_{\alpha}^6 = \sum_i B_i^{\alpha} C_i
$$
对$Z_\alpha^4$则是构造紧4 cycle $S_i$，然后计算$S_j\cdot S_k$的smith normal form即可。

Toric divisor相交数的计算已经非常成熟，首先每个toric ray对应一个toric divisor
$$
v_i \leftrightarrow T_i
$$
然后对于四重相交（一个点）直接来自ray所对应cone的体积
$$
T_i\cdot T_j\cdot T_k\cdot T_l = \frac{1}{\mathrm{vol}(V_{ijkl})} = \frac{1}{\det(v_j-v_i,v_k-v_i,v_l-v_i)}
$$
对于存在重复的divisor，可以用toric divisor的线性等价关系
$$
\sum_i v_i^aT_i = 0\quad a = x,y,z,w
$$
来进行相交数计算。


# 5 ABJM和Sasaki-Einstein

现在将前文所推导的一般SymTFT应用到ABJM和Sasaki-Einstein两个例子上。

## ABJM

文章的ABJM用的是更general的加入fractional brane的版本，其规范群为$U(N+b)\times U(N)$，在Geometric Engineering视角下，才是N个M2膜 probing $\mathbb{C}^4/\mathbb{Z}_k$的奇点，同时有$b$个fractional M2膜在奇点上。在极限下变为$AdS_4\times S^7/\mathbb{Z}_k$形式。对$S^7/\mathbb{Z}_k$的同调群为
$$
H_{\bullet}(S^7/\mathbb{Z}_k,\mathbb{Z}) = \{\mathbb{Z},\mathbb{Z}_k,0,\mathbb{Z}_k,0,\mathbb{Z}_k,0,\mathbb{Z}\} 
$$
此时需要考虑torsion element。以下记$\Sigma_n$为$M_3$中的n cycle，$T_n$为$S^7/\mathbb{Z}_k$的torsion n cycle。在$M_{11} = \mathbb{R}\times M_3\times Y_7$下，此时空间维度的所有cycle都可写成这二者乘积。

M理论中对偶于$C_3$的是$C_6$，可以定义两个拓扑算符
$$
\Phi(T_3)\quad \Phi(T_6)
$$
分别输入一个$T_3$或$T_6$ cycle，然后输出在这个cycle上的holonomy。这两个算符一般来说不对易
$$
\Phi(T_3)\Phi(T_6) = \Phi(T_6)\Phi(T_3)e^{2\pi iL(T_3,T_6)}
$$
其中$L(T_3,T_6)$是linking number，由于此时torsion cycle只有奇数维度，因此此时
$$
T_3 = \Sigma_2\times T_1,\quad\Sigma_0\times T_3
$$
$$
T_6 = \Sigma_3\times T_3,\quad \Sigma_1\times T_5
$$
比较重要的一对是$\Sigma_2\times T_1$和$\Sigma_1\times T_5$，利用$L_{S^7/\mathbb{Z}_k}(T_1,T_5)=\frac{1}{k}$，则二者linking phase为
$$
e^{2\pi i(\Sigma_1\cdot\Sigma_2)/k}
$$
这个非对易性对应着SymTFT中的这个BF项（此时$B_2$来自$G_4$中和$t_2$的耦合，$B_1,B_3$来自$G_7$中和$t_6,t_4$的耦合）
值得注意的是，需要用到Universal Coefficient Theorem来从上面的同调数据得到上同调数据
$$
0\longrightarrow \operatorname{Ext}\bigl(H_{p-1}(Y),\mathbb Z\bigr) \longrightarrow H^p(Y;\mathbb Z) \longrightarrow \operatorname{Hom}\bigl(H_p(Y),\mathbb Z\bigr) \longrightarrow0
$$
利用$\mathrm{Hom}(\mathbb Z_k,\mathbb Z)=0$和$\mathrm{Ext}(\mathbb{Z}_k,\mathbb{Z})=0$，可以得到上同调数据为
$$
H^{\bullet}(S^7/\mathbb{Z}_k,\mathbb{Z}) = \{\mathbb{Z},0,\mathbb{Z}_k,0,\mathbb{Z}_k,0,\mathbb{Z}_k,\mathbb{Z}\}
$$
因此$B_1,B_2,B_3$都是$\mathbb{Z}_k$规范场。
$$
\frac{S_{BF}}{2\pi} = k\int_{AdS_4}B_2\wedge dB_1
$$
这个BF项意味着我们要不固定$B_2$，引入一个1 form $\mathbb{Z}_k$对称性，要不固定$B_1$，引入一个0 form $\mathbb{Z}_k$对称性。除此之外，由于gauging M theory的圆方向，此时还有一个额外的$U(1)$规范场。SymTFT作用量为
$$
\int_{AdS_4} B_2 \wedge d(kB_1+NA_1)
$$
如果选择$A_1,B_1$ Dirichlet和$B_2$ Neumann的边界条件，则约束为
$$
kB_1 + NA_1 = 0
$$
二者有这个线性约束，因此一般解为
$$
(B_1,A_1) = (pA,-qA)\quad N = \gcd(N,k)p\quad k = \gcd(N,k)q
$$
这个$A$给出一个0 form $U(1)$对称性，然后还存在$\gcd(N,k)$个离散解，因此有0 form symmetry
$$
U(1)\times \mathbb{Z}_{\gcd(N,k)}
$$

在ABJ情形（$b\ne 0$），此时SymTFT给出额外的一项
$$
\frac{S_{top}}{2\pi} = -\Omega b\int_{AdS_4}B_2\wedge B_2
$$
对应于$\mathbb{Z}_k$ 1 form symmetry的‘t Hooft anomaly，通过Toric相关计算，作者得出系数$\Omega = \frac{1}{2k}\mathrm{mod} 1$。在此时，只有满足
$$
\frac{kb}{m^2} = 0\ \mathrm{mod}1
$$
的$\mathbb{Z}_m\subset \mathbb{Z}_k$才可以被gauged。


## Sasaki-Einstein

下面讨论的Sasaki-Einstein流形特指$Y^{p,k}(\mathbb{CP}^2)$流形，其上同调为（这说明如果$p,k$互素的话无非平凡离散对称性）
$$
H^\bullet(Y^{p,k}(\mathbb{CP}^2);\mathbb Z) = \left\{ \mathbb Z,\, 0,\, \mathbb Z\oplus\mathbb Z_{\gcd(p,k)},\, 0,\, \Gamma,\, \mathbb Z,\, \mathbb Z_{\gcd(p,k)},\, \mathbb Z \right\}
$$
其中
$$
\Gamma\cong \mathbb Z^2/\langle(3k,k),(k,p)\rangle \cong \mathbb Z_{\gcd(p,k)} \oplus \mathbb Z_{\frac{k(3p-k)}{\gcd(p,k)}}
$$
此时SymTFT的BF项为
$$
\frac{S_{\mathrm{BF}}}{2\pi} = \int_{AdS_4} B_2\wedge \left( Nf_2 + \gcd(p,k)dB_1 + \Omega_{n_0,n_1}^{p,k}g_2 \right)
$$
其中$f_2 = da_1$是M theory的$U(1)$圆，$g_2 = dc_1$，类似上一节的分析方法，此时0 form symmetry为
$$
G^{(0)} \cong U(1)^2 \times \mathbb Z_{\gcd(N,p,k,\Omega_{n_0,n_1}^{p,k})}
$$
由于此时有三个变量而约束是线性的，可以固定$a_1,c_1$而不固定$B_1$，此时会获得一个$\mathbb{Z}_n\subset \mathbb{Z}_{\gcd(p,k)}$的1 form symmetry。

如果$B_2,a_1,c_1$都在边界固定，此时会获得一个mixed anomaly
$$
\int_{M_4} B_2\wedge d\left( Na_1+\Omega c_1 \right) 
$$
对于$B_2\wedge B_2$项，也有同样的 1 form symmetry的‘t Hooft anomaly意义，此时也可以得到一个gauging条件。由于$H^4$有两个独立的torsion flux方向，可以分别打开一定整数单位的flux，此时$B_2\wedge B_2$系数与具体flux参数相关，也决定了gauging条件。


## Holographic CFT

3d 理论中，费米子会导致Parity anomaly，为了消除anomaly，需要满足条件
$$
k_i+\frac12\sum_jA_{ij}N_j\in\mathbb Z
$$
并且可以加入off diagonal Chern-Simons level满足
$$
\Lambda_{ij}-\frac12A_{ij}\in\mathbb Z
$$
显然这些$\Lambda_{ij}$并不唯一确定。本节的主要结论是，由于monopole电荷系数为
$$
k_im_i+N_i\sum_j\Lambda_{ij}m_j
$$
而完整的1-form symmetry为
$$
\mathbb{Z}_{\gcd(所有monopole电荷系数)}
$$
但是SymTFT又对1-form symmetry有所限制，这使得off diagonal Chern-Simons level的ambiguity得到有效限制。